Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 
f(x) = ax2 + bx + c
 
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:
RESUMEN 
Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:
  • Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.
  • Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
  • Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
  • Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
  • Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
  • Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
  • La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
FUENTE: thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm